Thư bạn đọc

về "Định lý bất toàn của Gödel"

Kính gửi Diễn Đàn,

Hôm nay tôi thấy trong mục "Thấy Trên Mạng" (TTM) có lời giới thiệu một trang mạng về "Định lý bất toàn của Gödel" với một câu ngắn : "Dành cho những độc giả quan tâm tới toán học và triết học". Đúng là cho tôi rồi, không chuyên về toán cũng như triết, nhưng có quan tâm. Vội vàng vào đọc thì hoàn toàn bất ngờ và thất vọng. Thử tìm hiểu tác giả Perry Marshall xem là ai, thấy đây là một chuyên gia làm quảng cáo thuê trên mạng, nghĩa là chuyên gia chém gió thượng thừa. Hoá ra phải hiểu câu này với hu-mua vốn hay có trên mục TTM, nói cho các độc giả có một trình độ toán nhất định một cái viết khôi hài để đọc cho vui, không phải chỉ ở Việt Nam mới có hiện tượng vĩ cuồng. Nhưng tôi sợ như thế dễ bị hiểu nhầm, nên có thư này.

*

Xin nói ngay, ông ta không hiểu gì hết về Gödel, chỉ "nghe hơi nồi chõ" rồi suy diễn lung tung (và bậy bạ nữa). Thí dụ như : "Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo lường đều có khả năng biểu diễn số học sơ cấp... nước chảy vào thùng sẽ tạo nên một lượng nước đếm được" ??? !!! Nhưng thôi, trong thư ngắn này xin bỏ qua những cái tung phèng ấy mà đi vào thực chất của vấn đề, nhân tiện nói ngắn gọn về hai định lý của Gödel.

Trang mạng viết :

Định lý Gödel nói rằng: “Bất kỳ lý thuyết nào được tạo ra một cách hiệu quả đủ khả năng biểu diễn số học sơ cấp đều không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Đặc biệt, đối với bất kỳ lý thuyết hình thức nào nhất quán, được tạo ra một cách hiệu quả cho phép chứng minh một số chân lý số học căn bản, sẽ có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh trong lý thuyết ấy.” (tôi gạch dưới những câu chữ không chỉnh).

Thế nào là "sơ cấp" ? nếu tạm coi học sinh trung học cơ sở trở xuống là sơ cấp, thì các em ấy không biết đến khái niệm về một tập hợp vô tận các con số. Thế mà ở đây đằng sau tất cả những khó khăn của các tiên đề số học và của các nhà toán học thế kỷ trước, trong đó có Gödel, chính là cái tập hợp vô tận ấy. Và thế nào là đúng ? đã không chứng minh được thì phải nói là không thể biết đúng hay sai chứ, tính chất mà thuật ngữ gọi là "bất khả phán định" (indécidable).

*

Thực ra muốn hiểu Gödel phải nói đến hai định lý chứ không phải một.

Định lý thứ nhất, thường được gọi là định lý bất toàn, có thể được phát biểu một cách nghiêm chỉnh như sau :

Bất cứ một hệ thống tiên đề TĐ nào cho phép thiết lập số học tự nhiên (xác định tập hợp vô tận các số nguyên và những phép tính quen thuộc trên tập hợp ấy) cũng đưa đến những mệnh đề số học bất khả phán định.

Điều này có nghĩa : với số học như vẫn dùng một cách tự nhiên như xưa đến nay, nếu ta chứng minh được một mệnh đề A là bất khả phán định thì ta có thể thêm A vào TĐ để thành một hệ thống tiên đề TĐ' cho số học mà không mâu thuẫn với TĐ; cũng như có thể thêm phủ định của A vào TĐ để thành hệ thống tiên đề TĐ" không mâu thuẫn với TĐ. Cho nên bất cứ hệ thống tiên đề nào cho số học cũng bất toàn (không đầy đủ).

Định lý thứ hai có tầm quan trọng đặc biệt về triết học và toán học, thường được gọi là định lý bất toàn thứ hai, nhưng có thể gọi chính xác hơn là "định lý bất khả phán định" của số học, được phát biểu như sau :

Với bất cứ hệ thống tiên đề TĐ nào cho phép thiết lập số học tự nhiên, người ta cũng không thể dùng bản thân nó để chứng minh nó là không tự mâu thuẫn.

Ở đây có một điểm tế nhị : tại sao có thể dùng số học để chứng minh một vấn đề luận lý hình thức ? lý do giản dị là luận lý hình thức có thể quy về số học. Lý luận hình thức, tuy không phải cộng trừ nhân chia, cũng là những phép tính đặc biệt trên những con số nguyên hữu hạn.

*

Để kết luận : tầm quan trọng của hai định lý Gödel nằm ở đâu ? chắc chắn là nó cho con người một bài học khiêm tốn khi thấy hạn chế của mình trong những cố gắng xác lập nền tảng toán học cho một điều tưởng như giản dị là các con số nguyên. Và vì toán học là ngôn ngữ của Vật lý học, có thể đặt câu hỏi : cái bất toàn và bất khả phán định của toán học có ảnh hưởng gì đến Vật lý học hay không ? điều lạ là tôi thấy Vật lý học vẫn phát triển vũ bão và hữu hiệu mà không ai nói đến Gödel cả.

Cuối cùng, để mở rộng hơn nữa : hai định lý Gödel có ảnh hưởng gì đến các lý thuyết trong khoa học xã hội ? Chính ở đây có lẽ nên áp dụng bài học khiêm tốn nói trên : bất cứ lý thuyết nào về kinh tế xã hội cũng không thể cho phép phán bừa về tất cả các vấn đề của hiện thực kinh tế xã hội, cũng như không thể dùng chính nó để chứng minh bản thân nó là chân lý. Như người ta vẫn rêu rao về "vận dụng" chủ nghĩa này chủ nghĩa nọ, trên mọi bộ môn, trong mọi tình huống, viện lẽ nó là chân lý phổ quát.

T. K. H.

07-04-2017