Điểm sách :

Về  Toán học và Nghệ thuật *

Nguyễn Xuân Xanh

Nhà hội họa, nhà thơ, nhà triết học và nhà khoa học tự nhiên, mỗi người tìm cách làm cho vũ trụ của anh ta, và cách cấu tạo của nó, trở thành tâm điểm của đời sống cảm xúc của họ.

Albert Einstein

Quyển sách “Toán học và Nghệ thuật” của Nguyễn Tiến Dũng, Giáo sư toán Đại học Toulouse, Pháp, là một công trình sưu tập và nghiên cứu công phu, đề cập đến hầu hết các lãnh vực nghệ thuật mà toán học đã có ảnh hưởng và truyền cảm hứng xuyên qua lịch sử văn minh phương Tây. Toán học được biết là “nữ hoàng” của các môn khoa học chính xác, góp phần quyết định cho sự hình thành cuộc cách mạng khoa học phương Tây. Nhưng ít ai biết nó còn có nhiều tác động đến cả văn minh phương Tây. Ai muốn biết tác động của toán học lên mảng nghệ thuật không thể không tham khảo quyển sách của GS Nguyễn Tiến Dũng.

Tôi xin có vài lời ghi chú thêm vào đề tài rất thú vị này. Giáo dục rất cần cái đẹp, theo tinh thần của nhà đại văn hào Đức Friedrich Schiller. Nghệ thuật có thể làm cho con người trưởng thành để là thành viên của một xã hội nhân bản. Cả hai, khoa học và nghệ thuật, có thể “đem lại một sự miễn nhiễm tuyệt đối trước sự thống trị tùy tiện của con người”, ông tin tưởng. Con người biết ngưỡng mộ cái đẹp sẽ có thể bớt làm cái xấu, cái ác. Một đề tài rất cần thiết cho giáo dục VN. Cái đẹp, thẩm mỹ, aesthetics, cũng là tiêu chuẩn để dựa vào đó con người đi tìm chân lý. Điều này rất phổ biến đối với các nhà vật lý: Copernice đề xuất thuyết nhật tâm vì toán học của thuyết này đem lại niểm vui thẩm mỹ cho ông; Kepler cũng lấy tiêu chuẩn thẩm mỹ để đi tìm các định luật hành tinh; Newton tin vào mối quan tâm của Chúa muốn bảo tồn sự hài hòa và vẻ đẹp vũ trụ; thuyết tương đối, phương trình Maxwell, phương trình Dirac, vân vân, mỗi thứ đều mang một vẻ đẹp đặc thù.

Mỹ học dường như có một nền tảng phổ quát (universal) trong tâm lý con người, và được minh họa bởi quá trình tiến hóa (Denis Dutton). Hội họa đã bắt đầu có từ cuộc sống hang động, trước cả toán học. Tranh khắc gỗ Nhật được ưa thích ở Brazil. Opera Ý được thưởng thức ở Trrung Quốc. Nhạc viện Vienna được “cứu rỗi” bởi các nhạc sĩ Nhật Bản, Hàn Quốc và Trung Quốc. Tranh van Gogh được ngưỡng một xuyên không thời gian.

Nghệ thuật nói chung thể hiện sức sáng tạo, óc tưởng tượng, và sự nhạy cảm, tinh tế của tâm hồn con người trước thế giới. Muốn hiểu năng lực sáng tạo của một dân tộc, hãy nhìn vào sản phẩm và ý tưởng của họ được thể hiện trong các công trình nghệ thuật và văn hóa. Có lẽ ở các môn nghệ thuật, con người thể hiện những năng khiếu sáng tạo và óc tưởng tượng, sự nhạy cảm của tâm hồn nhiều nhất. Nhật Bản đã tỏ rõ những năng lực này từ thời Heian, hơn 1000 năm trước trong các lãnh vực văn học, kiến trúc, hội họa, ngôn ngữ, với sự sáng tạo chữ kana vẫn còn sử dụng ngày hôm nay. Lịch sử Nhật Bản là lịch sử của không ngừng sáng tạo, đổi mới, đi tìm tòi, nhưng cũng thể hiện bản sắc dân tộc. Họ là dân tộc ham sáng tạo và học hỏi, rất nhạy cảm trước cái mới. Nhìn từ góc độ này, người ta sẽ không ngạc nhiên khi thấy Nhật Bản là quốc gia đã sớm thành công đầu tiên trong công cuộc duy tân ở châu Á.

Toán học có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học chính xác là điều tự nhiên như mọi người biết. Nhưng điều ngạc nhiên là hội họa lại có mối liên quan đến toán học. Sự chuyển tiếp từ Trung cổ sang Phục Hưng ở phương Tây đối với ngành hội họa được đánh dấu bằng sự chuyển biến từ không gian hai chiều sang không gian ba chiều mà hệ quả của nó là phối cảnh, optical perspective. Đó là giai đoạn chuyền tiếp từ thế kỷ 13 sang 14 trở đi. Những người tiên phong của dòng hội họa mới này là Duccio, Giotto, tiếp theo đó Leonardo (da Vinci), và Dürer. Người nghệ sỹ ý thức tính chất khô cứng, thiếu sức sống, và chưa trung thực của thời Trung cổ. Với không gian ba chiều, người ta thấy con người thực bằng xương bằng thịt, thấy thiên nhiên, cảnh vật, đồ vật, chứ không phải chỉ thấy cái bóng của chúng. Phục Hưng là sự trở về con người và tự nhiên, với tất cả vẻ đẹp và tính toàn thể của nó. Nhưng hơn nữa, người nghệ sĩ Phục Hưng quay sang toán học không phải chỉ vì muốn tái tạo tự nhiên, khám phá cái đẹp như người Hy Lạp từng làm, mà còn bị ảnh hưởng bởi các nhà triết học Hy Lạp rằng bản chất (essence) của thế giới là toán học, và cho nên thế giới hoàn toàn có thể được giải thích bằng toán học. Đó cũng là nền tảng tâm lý đối với toán học của xã hội Phục Hưng để tiến tới trao cho toán học vai trò khám phá tự nhiên rất quyết định trong các nhà cách mạng khoa học thế kỷ 17, để tạo ra cuộc cách mạng với sức bật vĩ đại này. Câu nói nổi tiếng của Galilei, rằng Quyển sách của Tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán, là đặc trưng cho thái độ đó.

Kiệt tác chân dung của một phụ nữ trẻ (c. 1480-85)
của danh họa Sandro Botticelli thể hiện
nét trọn vẹn của con người thời Phục Hưng

Thế kỷ 20 có một cuộc cách mạng bao trùm lên tất cả hoạt động sáng tạo của con người mà Einstein là người khởi xướng tiên phong trong lãnh vực vật lý. Đó là giai đoạn “Phá hủy sáng tạo” theo ngôn ngữ của Joseph Schumpeter. Các khái niệm không gian, thời gian, vận tốc hằng số ánh sáng, và chiều thời gian thứ tư, có vai trò nổi trội. Con người không chỉ chia tay với quá khứ trong cách nhìn vũ trụ, không gian, thời gian, mà còn bước ra khỏi thái dương hệ, dải Ngân hà của mình, để ngắm nhìn cả vũ trụ rộng lớn, như một “chiều kích” mới. Song song và “sát nút”, cuộc cách mạng trong lãnh vực hội họa cũng đã diễn ra. Chỉ hai năm sau khi Einstein làm tan vỡ cách nhìn cổ điển về thời gian không gian bằng thuyết tương đối hẹp (1905), thì Georges Braque và Pablo Picasso làm điều tương tự đối với hội họa, vứt bỏ cách nhìn cũ và tạo ra nghệ thuật mới. Cũng giống như Einstein, họ tập trung vào các mối quan hệ giữ các phần tử của một chủ đề, như những mối quan hệ của không gian và thời gian đối với vận tốc ánh sáng:

1907: Picasso tạo ra tác phẩm lập thể Les Demoiselles d’Avignon
1913: Braque tạo ra Femme à la guitare

Picasso nhỏ hơn Einstein chỉ hai tuổi, Braque nhỏ hơn ba tuổi. Họ, cùng với Lise Meitner, Max von Laue, có lẽ thuộc cùng một chòm sao đặc biệt.

Einstein và thuyết tương đối đưa ra những khái niệm rất mới: không gian bốn chiều, tính tương đổi của không gian, thời gian, vận tốc hằng số của ánh sáng, tiếp theo là continuum bốn chiều uốn cong như thực tại đúng thật của con người và vũ trụ. Những khái niệm này không thể không lọt qua con mắt luôn luôn tìm kiếm cái mới của giới họa sĩ. Nhưng đầu tiên, Einstein và thuyết tương đối không có mối quan hệ trực tiếp với trường phái lập thể (cubism), như nhiều người nghĩ, mà có lẽ đó là sự ngẫu nhiên rất thú vị, tuy rằng nhà toán học Maurice Princet có giải thích cho các họa sỹ nghe về thuyết tương đối.

Picasso, Les Demoiselles d'Avignon, 1907

Braque, Femme à la guitare, 1913

Duchamp, Portrait de joueurs d'échecs, 1911

Trường hợp thuyết Einstein có ảnh hưởng đầu tiên có lẽ là danh họa lập thể Marcel Duchamp, với tác phẩm nổi tiếng Portrait de joueurs d’échecs (1911). Cũng như nhiều họa sĩ khác, năm 1911 ông đọc một quyển sách về không gian bốn chiều, Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions (1903) của Elie Jouffret, điều sau đó ông thấy đã đi vào thuyết tương đối hẹp của Einstein (qua bàn tay của Minkowski). Cho nên ông quyết định ứng dụng và tạo ra tác phẩm nghệ thuật với chiều thời gian nói trên. Chiều thứ tư theo cách hiểu phổ thông trước Einstein không phải là thời gian mà vẫn là chiều không gian.

Dali, The Persistence of Memory (1931)

Bức tranh “Trí nhớ trường tồn” (The persistence of memory) của Salvador Dali (1931) GS Nguyễn Tiến Dũng có nhắc đến có lẽ cũng có thể được diễn giải là “Sự tan chảy của thời gian” với hình ảnh những chiếc đồng hồ tan chảy. Mà khái thời gian “tan chảy” chỉ có ở thuyết tương đối hẹp của Einstein: thời gian có thể giản nỡ, như tan chảy, hoặc ‘cô đặc’ lại. Thực tế, bức tranh diễn tả những sự biến dạng của cả không gian và thời gian trong Thuyết tương đối hẹp. Trong những người siêu thực (Surrealist), thì Dali là một trong những nghệ sĩ theo đuổi khoa học nhiều nhất, đặc biệt với Einstein và thuyết tương đối.

Hannah Höch, Cut with the Dada Kitchen Knife through the Last Weimar
Beer-Belly Cultural Epoch in Germany, 1919, Collage

Đầu thế kỷ 20 và sau đó, vai trò của toán học đối với hội họa dường như được chuyển sang vai của vật lý hiên đại, thuyết tương đối, và cả thuyết lượng tử. Cảm xúc tối hậu được truyền từ toán học cho người nghệ sĩ có lẽ chưa phải là không gian ba hay bốn chiều, hay về kỹ thuật, mà là óc tưởng tượng, như nhà toán học Anh Augustus de Morgan nhận định: “Sức mạnh lay chuyển của sự phát minh ra toán học không phải là lý luận mà là óc tưởng tượng.” Thuyết tương đối, không gian, thời gian, tính tương đối, không gian cong trên hình học của Einstein đã đóng đúng vai trò truyền cảm hứng cho óc tưởng tượng này.

Ảnh hưởng của Thuyết Einstein lên giới nghệ sỹ là rất sâu đậm sau khúc quanh 1919. “Sự hoan hô dâng lên dành cho Einstein và Thuyết tương đối sau 1919 sẽ thay đổi địa thế cho Duchamp và những họa sĩ khác đầu thế kỳ 20, từng bước thay thế chiều không gian thứ tư đại chúng, và khai trương quan niệm thời gian như chiều thứ tư, chiều sẽ đặc trưng cái nhìn công chúng cho phần lớn thế kỷ. Chỉ ở những năm của 1960 và 1970 chiều thứ tư như chiều không gian mới trở lại, và đầy đủ ở những năm 1980 cùng với lý thuyết dây và đồ thị máy tính”, như Linda Dalrymple Henderson, giáo sư nghệ thuật ĐH Austin, Texas, nhận định. Bà có viết một tác phẩm nổi tiếng: The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art. Quyển sách được xuất bản đầu tiên năm 1983, thời Phục Hưng của thuyết tương đối rộng, và được tu chỉnh năm 2013.

Những năm 1960 John Wheeler và những người khác tạo ra thời kỳ Phục Hưng của Thuyết tương đối rộng, định dạng lại nghiên cứu không-thời gian bằng ngôn ngữ hình học nhiều hơn. Họa sĩ Tony Robbin đã đi học nghiêm chỉnh vật lý ở NYU, trò chuyện với Wheeler. Ông thuật lại tương tác của ông với các nhà toán học và vật lý học, trong đó có Paul Steinhardt và Engelbert Schucking trong quyển sách năm 1992 có tên Fourfield: Computers, Art, and the Fourth Dimention. Năm 2006 ông có thêm quyển Shadows of Reality: The Fourth Dimension in Relativity, Cubism, and Modern Thought. Họa sĩ nghệ thuật pop tiên phong James Rosenquist say mê vận tốc ánh sáng, đã thể hiện cảm xúc trong các bức tranh nổi tiếng như Mariner  Speed of Light (1999), hay The stowaway peers out at the speed of light, 2001. Ông nói: “Các bức tranh nói về sự tưởng tượng của tôi liên quan đến một cái nhìn mới, hay một cái nhìn vận tốc ánh sáng.” Có một “sự khác biệt”, đối với Rosenquist, “không tránh khỏi giữa hệ qui chiếu (frame of reference) của riêng ông với tư cách là họa sĩ, và cái của người xem hay người bình luận, những người không du hành cùng một cuộc hành trình cả đời như ông” như Henderson viết.

James Rosenquis, The stowaway peers out at the speed of light , 2001

Ảnh hưởng của vật lý lên nghệ thuật là rất lớn, sâu rộng và tinh thế. Những nghệ sĩ nghiên cứu nhiều về vật lý hiện đại, và những hệ quả của nó, để tìm ý tưởng mới. Nghệ sĩ nhiếp ảnh Nhật Hiroshi Sugimoto dùng hình ảnh của biển ở nhiều nơi để thiết lập khái niệm “tính đồng thời của vị trí” (simultaneity of place) như tính đồng thời của thời gian của Einstein. Nếu trong thế kỷ 20, “từ Höch đến Warloh, hay từ Mandelsohn và Dali đến Rosenquist, Einstein và Thuyết tương đối rõ ràng là các chất kích thích quan trọng, cung cấp một sự mô tả bằng hình tượng mới (iconography), và khuyến khích sự thay đổi sáng tạo phong cách của một số nghệ sĩ, kiến trúc sư, hay nhà thiết kế” thì sang thế kỷ 21, “được tăng thêm bởi nhiều hơn các đề tài gần đây trong vật lý, bao gồm cả các vũ trụ mười một chiều của các nhà lý thuyết dây như David Gross và thuyết màng (membrance) của Lisa Randall, cũng như du hành thời gian, năng lượng tối, và vật chất tối, ‘sự lãng mạn của nhiều chiều’ của các nghệ sĩ với Einstein và Thuyết tương đối rõ rảng tiếp tục sang thế kỷ 21” như Linda Henderson nhận định.

Ngoài ảnh hưởng của thuyết tương đối lên hội họa, cuộc cách mạng đầu thế kỷ 20 còn có một ảnh hưởng bất ngờ khác  lên toán học! Cụ thể lên sự hình thành của nhóm toán học Pháp có cái tên Nicolas Bourbaki huyền thoại, mà người lãnh đạo là André Weil (anh của nhà nữ triết học Simone Weil). Cho đến đầu thế kỷ 20, các nhà toán học Đức vẫn giữ vai trò thống trị. Weil đi chu du và quan sát, và mơ ước. Với 15 tuổi ông đã đọc quyển sách của Arthur Eddington về thuyết tương đối, hiểu vật lý lẫn toán học. Năm sau, 1922, khi Einstein diễn thuyết về thuyết tương đối ở Collège de France, thì Weil chưa đủ tuổi để được vào nghe. Tham dự buổi này là toàn những nhà toán học và khoa học thượng thặng cũng như đại biểu của giai cấp thượng lưu Pháp, và phải được mời. Nhưng André được người đỡ đầu là Jacques Hadamard thu xếp để có giấy mời.

Weil cũng quan tâm đến hội họa, cũng đi xem triển lãm của Picasso ở Zurich, và chứng kiến hội họa hiện đại đang phá hủy các tiêu chuẩn cũ, cũng như thuyết tương đối của Einstein phá hủy sự ưu việt của vật lý cổ điển. Những ấn tượng này sẽ có ảnh hưởng lên sự phát triển của ông.

Quán cà phê Capoulade thời những năm 1930-1940 (Internet)

Lý thuyết tập hợp

Đứng trước tình hình xuống cấp nghiêm trọng của nền toán học Pháp trong giai đoạn sau Thế chiến I, Weil muốn làm một cuộc cách mạng, vứt bỏ quá khứ, và xây dựng tương lai mới. Trưa ngày 10, tháng 12, 1934, Weil triệu tập một buổi họp tại quán Café GrillRoom À Capoulade (ngày nay không tồn tại nữa) số 63 Boulevard Saint Michel, và nhóm Nicolas Bourbaki chính thức ra đời, gồm các nhà toán học tài năng trẻ Henri Cartan, Claud Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel, và dĩ nhiện André Weil (sau này mở rộng thêm L. Schwartz, A. Grothendieck, J. P. Serre, A. Borel, R. Godement, P. Samuel, J. Dixmier, P. Cartier…). Toán học được tiên đề hóa (axiomatized), như trong thuyết tương đối hẹp của Eisntein, hay trong Các sơ sở của Euclid, trừu tượng, chặt chẽ và tổng quát. Bourbaki sẽ tạo ra một “Big Bang” trong toán học, như là một vũ trụ thống nhất  xuất phát từ một khởi điểm duy nhất là lý thuyết tập hợp (theorie des ensembles), phát triển đến các ngành tôpô, tôpô đại số, hình học đại số, nhóm Lie, thuyết phạm trù (category theory), đặc biệt thuyết về cấu trúc (structure), gây ảnh hưởng lớn lên sự phát triển toán học những thập niên tới cũng như lên một số ngành khoa học nhân văn.

Nhà sử học toán học Pháp Denis Guedj nhận xét: “Được thúc đẩy bởi niềm tin vào tính thống nhất của toán học, và mong muốn trở thành ‘những nhà toán học phổ quát’, Bourbaki muốn làm công việc suy ra cả vũ trụ toán học từ một khởi điểm duy nhất”. Khởi điểm đó là lý thuyết tập hợp. Nếu hai ngàn năm trăm năm trước Euclid đã xuất phát từ những khái niệm điểm, đường thẳng, vòng tròn, và một số các tiên đề để xây dựng cả nến toán học trên đó, thì nay, nhóm Bourbaki cũng có tham vọng tái hiện một loại Các cơ sở hiện đại của Euclid như thế làm nền tảng cho toán học hai ngàn năm tới. Hai công cụ mạnh mẽ là tiên đề hóa (axiomatization), và khái niệm tổng quát về cấu trúc. Tiên đề hóa là phương pháp của Euclid, hay Hilbert, và Einstein. Nhưng khái niệm cấu trúc là mới, như một trong những viên đá quý đẹp của nền toán học thế kỷ hai mươi.

Quyển sách đầu tiên của Bourbaki dành cho lý thuyết tập hợp  nền tảng của toán học hiện đại. Weil cũng là người đã sáng tác ra ký hiệu  cho tập hợp rỗng, từ một ký tự trong ngôn ngữ của Na Uy là nơi ông đã từng đến thăm.

Với đôi lời ngắn ngủi trên, chắc chắn quá ít so với những gì cần được nói, tôi xin hưởng ứng tinh thần của tác phẩm mới của GS Nguyễn Tiến Dũng, và chúc thành công.

Cám ơn,

NXX

Tháng 10, 2016

* NXB sputnik, 2016