GIẢI CLAY 2004 về tay
nhà toán học NGÔ BẢO CHÂU

Sinh năm 1972 tại Hà Nội, Ngô Bảo Châu soạn luận án tiến sĩ toán tại Trường Đại học Orsay (Paris-Sud) dưới sự hướng dẫn của G. Laumon ^_ Laumon cũng là thầy học của L. Lafforgue. Sau khi bảo vệ luận án năm 1997, Châu vào CNRS (Trung tâm quốc gia nghiên cứu khoa học) và làm việc tại TĐH Paris-Nord. Tháng 6-2004, được bổ nhiệm giáo sư Trường Đại học Paris-Sud.

Đầu tháng 11 tại Trường đại học Harvard, Viện Toán học Clay (CMI) đã trao giải « tưởng thưởng những tiến triển có ý nghĩa trong nghiên cứu toán học » cho ba nhà toán học Ben Green (Trinity College, Anh), Gérard Laumon và Ngô Bảo Châu (Trường đại học Paris-Sud, Orsay, Pháp). CMI là một cơ sở tư nhân, do nhà mạnh thường quân Landon T. Clay sáng lập, nhằm mục đích « phát triển và truyền bá tri thức toán học », giúp công chúng khám phá « vẻ đẹp, sức mạnh và tính phổ quát của tư duy toán học » (hiến chương của CMI). Năm 2000, viện Clay đã được giới truyền thông nói tới nhiều khi họ công bố danh sách 7 « bài toán của thiên niên kỉ » và treo giải 1 triệu đô la cho ai giải được một trong 7 bài toán ấy (*). Danh sách này được lập ra dưới sự bảo trợ của những nhà toán học trứ danh (Atiyah, Connes, Tate, Wiles...). Độc lập với giải « thiên niên kỉ » nói trên, hàng năm CMI trao « giải Clay » cho những công trình quan trọng của những nhà toán học còn trẻ hay đã làm nên sự nghiệp. Trong số những người từng được giải, có những tên tuổi lừng danh như Andrew Wiles (người đã chứng minh định lí Fermat), Alain Connes hay Laurent Lafforgue (vừa được giải Fields ^_ mà người ta coi là giải Nobel toán học). Phải nói ngay là hội đồng giám khảo của viện Clay hơi thiên vị lãnh vực lí thuyết số (hiểu theo nghĩa rộng) : khá nhiều tuyển viên là tác giả những phát kiến về số học : Wiles (định lí Fermat), Connes (hướng về giả định của Riemann) hay Lafforgue (ước đoán hình học của Lang-lands). Giải Clay năm nay cũng không ra ngoài thông lệ này : Ben Green, hợp tác với Terence Tao, làm về phân bố các số nguyên tố trong các cấp số cộng, một đề tài cổ điển đã bắt đầu được nghiên cứu từ thế kỉ 13 ; còn công trình của Laumon và Ngô Bảo Châu có thể xếp vào lãnh vực mà giới nghiên cứu vẫn gọi là « chương trình Langlands », một lãnh vực từ ba chục năm nay đang huy động một bộ phận khá lớn năng lực toán học (đặc biệt ở Pháp).

Không có gì « thất đức » hơn là cái « nghề » phổ biến toán học : không thể nói toán học bằng ngôn ngữ thông thường (cho nên phải dùng vô số ngoặc kép), bị người « ngoại đạo » trách là viết « khó hiểu », còn chuyên gia thì chê là « thiếu chính xác ». Nói theo Nguyễn Tuân, và xin lỗi trước bạn đọc, một bài phổ biến toán học, giỏi lắm cũng chỉ là một cuộc giao hoan nửa vời.

Vậy thì xin nói chuyện số học. Mục tiêu tối hậu của lí thuyết đại số về các số là hiểu biết « nhóm Galois tuyệt đối » của mỗi « trường số ». Đặt vấn đề như vậy, đối với nhà toán học, đã là siêu hình rồi vì... thiếu chính xác. Thay vì « hiểu biết », xin dùng chữ « mô tả », nghĩa là vẽ ra một « bức hoạ » ít nhiều trung thành (mức độ trung thành tuỳ thuộc vào từng bài toán) : đó là khởi điểm của lí thuyết « biểu diễn » của các nhóm. Dưới góc độ này, các nhà toán học đã đạt được mục tiêu tối hậu, nhưng chỉ riêng cho một loại nhóm gọi là « nhóm Abel » : đó là lí thuyết nổi tiếng về « trường của các lớp » (class field theory), thành quả hơn nửa thế kỉ nỗ lực của những nhà toán học lớn cuối thế kỉ 19 và nửa đầu thế kỉ 20. Đây là một lí thuyết đồ sộ và phức tạp nên, ngay cả ngày nay, nó chỉ được dạy trong các giáo trình cấp 3 đại học, dành cho những chuyên gia. Giai đoạn tiếp theo, nghiên cứu các ca « phi Abel », chính là « chương trình Langlands ». Chương trình này không chỉ gồm có những « ước đoán » (**) mà là cả một kế hoạch (« lộ trình », nói theo lối thời thượng) nhằm chứng minh những « ước đoán » đó. Một khi được chứng minh ^_ nghĩa là nó trở thành định lí rồi ^_ nó sẽ lập ra sự tương ứng một đối một giữa một bên là các biểu diễn của nhóm Galois, và bên kia là các biểu diễn liên kết với những hàm số thuộc một kiểu đặc biệt gọi là « hàm tự cấu ». Để đánh giá đúng mức bước nhảy vọt khái niệm của chương trình Langlands, ta phải biết rằng các nhóm Galois thuộc về đại số học (nghiên cứu những số lượng rời rạc), còn các hàm số thuộc về giải tích học (nghiên cứu những lượng vi phân). Người ta đã công bố rất nhiều công trình về các ước đoán của Langlands. Khi nới bài toán ban đầu ra khỏi khuôn khổ các trường số, mở rộng ra một số trường không chỉ là trường số song vẫn có ý nghĩa số học ^_ những « trường cục bộ » và « trường hàm » ^_ người ta mở ra trên « lộ trình » Langlands hai giai đoạn quyết định : ước đoán của Langlands về các « trường cục bộ » đã được Harris và Taylor chứng minh và sau đó là Henniart (bằng một phương pháp đơn giản hơn) ; tiếp theo là ước đoán về các « trường hàm » đã được Lafforgue chứng minh (Lafforgue đã được trao tặng huy chương Fields năm 2002 chính là nhờ công trình về « ước đoán hình học » này). Hiện nay giới nghiên cứu đang tập trung nỗ lực vào ước đoán về các trường số, nhưng trường số vốn chứa đựng những khó khăn kĩ thuật lớn lao. Trong số những khó khăn ấy, phải kể tới « chuyển giao » và « bổ đề cơ bản », là hai ước đoán « cục bộ » xuất hiện trong lí thuyết « nội soi » mà Langlands và một số người khác đã tạo ra để « ổn định công thức về các vết của Arthur-Selberg » thuộc lãnh vực giải tích điều hoà trong các « nhóm p-adic ». Vào cuối thế kỉ 20, những tiếp cận hình học (nhưng vẫn giữ tính chất cục bộ) đã cho phép quy cả hai ước đoán về một mối duy nhất là bổ đề cơ bản, và sau đó G. Laumon đã chứng minh được bổ đề này cho các « nhóm unita »... với điều kiện là chấp nhận một ước đoán khác, mang tên « ước đoán thuần khiết » ! Ngô Bảo Châu đưa ra một cách tiếp cận khác, tiếp cận hình học « toàn cục », có thể nói là trở về động cơ toàn cục nguyên thuỷ của bổ đề cơ bản. Nhờ cách tiếp cận này, có thể đánh vòng qua nguyên tắc thuần khiết. Sự hợp tác giữa Laumon và Ngô Bảo Châu đã đưa tới kết quả là chứng minh được bổ đề cơ bản cho các nhóm unita một cách vô điều kiện. Giải Clay 2004 đã tưởng thưởng công trình đột phá này.

Đ. T.

(*) Cho đến nay, chưa ai giật giải, mặc dầu đã có nhiều tiến triển trong các lãnh vực.

(**) Cũng lạ là các ước đoán của Langlands không nằm trong danh sách các « bài toán của thiên niên kỉ ».